Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=

1

3

，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连结AF交射线BD于点G，则AG的长为（　　）

• A、

  14

  3

• B、3

  2

  +

  1

  2

• C、3

  3

  -

  1

  2

• D、

  9

  2

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CBD=∠CAF，从而得到△BCD和△AGD相似，根据相似三角形对应边成比例求出AD=AG，过点B作BH⊥CD于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CH，再解直角三角形求出CH，AC，然后根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解．

解答：解：作BH⊥DC于H点
∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△FEC，
∴BC=CE，AC=CF，∠BCE=∠ACF（为旋转角），
∵∠CBD=

1

2

（180°-∠BCE），∠CAF=

1

2

（180°-∠ACF），
∴∠CBD=∠CAF，
又∵∠BDC=∠ADG，
∴△BCD∽△AGD，
∴

BC

BD

=

AG

AD

，
∵BC=BD，
∴AG=AD，
则CD=2CH，
∵sin∠BAC=

1

3

，BC=2，
∴

CH

BC

=

BC

AC

=

1

3

，
即

CH

2

=

2

AC

=

1

3

，
解得CH=

2

3

，AC=6，
∴CD=2×

2

3

=

4

3

，
AD=AC-CD=6-

4

3

=

14

3

，
∴AG=AD=

14

3

，
故选：A．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．