Question

如图，点O在边长为8的正方形ABCD的AD边上运动（4＜C）A＜8），以O为圆心，OA长为半径作圆，交CD于点E，连接OE、AE，过点E作直线EF交BC于点F，且∠CEF=2∠DAE．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线；
（2）在点O的运动过程中，设DE=x，解决下列问题：
①求OD．CF的最大值，并求此时半径的长；
②试猜想并证明△CEF的周长为定值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）由OA=OB得∠OAE=∠OEA，则根据三角形外角性质得∠DOE=2∠DAE，由于∠CEF=2∠DAE，则∠CEF=∠DOE，加上∠DOE+∠DEO=90°，则∠CEF+∠DEO=90°，所以∠OEF=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线EF为⊙O的切线；
（2）由于∠CEF=∠DOE，根据三角形相似的判定得到Rt△DOE∽Rt△CEF，利用相似比得OD•CF=DE•EC=x（8-x），配方得OD•CF=-（x-4）²+16，然后根据二次函数的性质得当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16；设此时半径为R，则OA=OE=R，OD=8-R，在Rt△ODE中，根据勾股定理可计算出此时半径为5；
（3）在Rt△ODE中，利用勾股定理得到（8-OE）²+x²=OE²，则OE=4+

x2

16

，OD=8-OE=4-

x2

16

，再利用Rt△DOE∽Rt△CEF得到相似比

OD

EC

=

DE

CF

=

OE

EF

，即

4- x2 16

8-x

=

x

CF

=

4+ x2 16

EF

，可计算得CF=

16x

8+x

，EF=

64+x2

8+x

，然后根据三角形周长的定义得到△CEF的周长得到CE+CF+EF=8-x+

16x

8+x

+

64+x2

8+x

，再进行分式的化简运算即可得到△CEF的周长为16．

解答：（1）证明：∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DOE=2∠DAE，
∵∠CEF=2∠DAE，
∴∠CEF=∠DOE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=90°，
∴∠DOE+∠DEO=90°，
∴∠CEF+∠DEO=90°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∴直线EF为⊙O的切线；
（2）解：∵∠CEF=∠DOE，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

OD

EC

=

DE

CF

，
∴OD•CF=DE•EC，
∵DE=x，
∴EC=8-x，
∴OD•CF=x（8-x）
=-x²+8x
=-（x-4）²+16，
当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16，
设此时半径为R，则OA=OE=R，OD=8-R，
在Rt△ODE中，
∵OD²+DE²=OE²，
∴（8-R）²+4²=R²，解得R=5，
即此时半径为5；
（3）猜想△CEF的周长为16．
在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，即（8-OE）²+x²=OE²，
∴OE=4+

x2

16

，
∴OD=8-OE=4-

x2

16

，
∵Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

OD

EC

=

DE

CF

=

OE

EF

，即

4- x2 16

8-x

=

x

CF

=

4+ x2 16

EF

∴CF=

16x

8+x

，EF=

64+x2

8+x

，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=8-x+

16x

8+x

+

64+x2

8+x

=16．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、二次函数的性质和正方形的性质；会运用勾股定理和三角形相似的判定与性质进行几何计算．