Question

解不等式：（a²-1）x²+3ax+3＞0．

Answer 1

考点：一元二次不等式

专题：

分析：当a²-1=0时，不等式是一元一次不等式，即可求解；
当a²-1≠0时，根据二次函数y=（a²-1）x²+3ax+3的性质即可，根据函数的开口方向以及与x轴的交点，结合图象即可求解．

解答：解：1）当a²-1=0，即a=1或-1时，不等式是一元一次不等式，当a=1时，原式即3x+3＞0，解得：x＞-1；
当a=-1时，原式即-3x+3＞0，解得：x＜1；
2）当a²-1＞0时，即a＞1或a＜-1时，△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＜0时，即a＞2或a＜-2时，不等式一定成立，此时不等式的解集是任意实数；
当△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＞0时，即-2＜a＜2时，此时即-2＜a＜-1或1＜a＜2时，解方程（a²-1）x²+3ax+3=0，得：x=

-3a± 12-3a2

2(a2-1)

，此时不等式的解集是：x＞

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

或x＜

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

；
当△=9a²-12（a²-1）=12-3a²=0时，a=±2，不等式即3a²±6x+3＞0，则x≠1或-1；
3）当a²-1＜0时，即-1＜a＜1时，△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＜0时，即a＞2或a＜-2时，不等式无解；
当△=9a²-12（a²-1）=12-3a²＞0时，即-2＜a＜2，此时-1＜a＜1，解方程（a²-1）x²+3ax+3=0，得：x=

-3a± 12-3a2

2(a2-1)

，
此时不等式的解集是：

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

＜x＜

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

；
△=9a²-12（a²-1）=12-3a²=0时，a=±2，此时，不成立．
总之，a=1时不等式的解集是：x＞-1；
当a=-1时解集是：x＜1；
当a＞1或a＜-1时，此时不等式的解集是任意实数；
-2＜a＜-1或1＜a＜2时，不等式的解集是：x＞

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

或x＜

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

；
当-1＜a＜1时，不等式的解集是：

-3a- 12-3a2

2(a2-1)

＜x＜

-3a+ 12-3a2

2(a2-1)

．

点评：本题主要考查了解一元二次不等式的知识点，解答本题的关键是理解一元二次不等式与二次函数的关系，根据二次函数的图象解决问题，利用数形结合思想，对a进行分类讨论，此题有一定的难度．