Question

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；
（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求

AF

FE

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先证明△ODE≌△OBE，即可得出∠ODE=∠OBE=90°，得出答案即可；
（2）先证明△ODB是等边三角形，即可得出∠CBD=30°则CD=

1

2

BC，BC=

1

2

AC，求出CD的长进而得出BC的长；
（3）利用tan∠C=2，∠CDB=90°，则

BD

CD

=2，进而设CD=a，BD=2a，AD=4a，则AC=5a，由

AF

FE

=

AD

OE

，求出即可．

解答：（1）证明：如图1，连接BD，OD，OE．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∵E是BC中点，
∴DE=EC=EB．
在△ODE和△OBE中

OD=OB OE=OE DE=BE

，
∴△ODE≌△OBE（SSS）．
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD．
∴△ODB是等边三角形．
∴∠DOB=60°．
∴∠A=30°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°．
∴∠CBD=30°．
∴CD=

1

2

BC，BC=

1

2

AC．
设CD=x，BC=2x，
∵AD=6，
∴2x=

1

2

(6+x)．
∴x=2．
∴BC=4．

（3）解：如图2，连接BD，OE．
∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴

BD

CD

=2．
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴

AD

BD

=2．
设CD=a，BD=2a，AD=4a，
∴AC=5a．
∵O是AB中点，E是BC中点，
∴EO∥AC，OE=

1

2

AC=

5

2

a．
∴

AF

FE

=

AD

OE

，
∴

AF

FE

=

4a

5 2 a

=

8

5

．

点评：此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质、锐角三角函数关系等知识，得出

AF

FE

=

AD

OE

是解题关键．