Question

2．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
①$\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}•\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；②$\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}=\frac{{1×（\sqrt{2}+1）}}{{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{{{{（\sqrt{2}）}^2}-{1^2}}}=\sqrt{2}+1$等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：$\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$；
（2）计算：$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}}$．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的乘法，分子分母都乘以$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，即可得出答案；
（2）根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案．

解答 解：（1）原式=$\frac{1×（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
（2）原式=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$+…+$\frac{\sqrt{2014}-\sqrt{2013}}{（\sqrt{2014}+\sqrt{2013}）（\sqrt{2014}-\sqrt{2013}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2014}-\sqrt{2013}$
=$\sqrt{2014}$-1．

点评 此题考查了二次根式的分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相等．找出分母的有理化因式是解本题的关键．