Question

【题目】小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB， AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长．

(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

(3)推理：证明图2中的四边形PQMN 是正方形．

(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

Answer 1

【答案】（1）温故：；（3）推理：四边形PQMN为正方形.见解析；（4）拓展：猜想，理由见解析.

【解析】

（1）根据，列比例式求解即可；

（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明,,从而，可证四边形PQMN为正方形；

（4）可设MN=3k，.则，，.根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而.通过证明，可得.

（1）温故：．

.

即.

解得.

（2）推理：由画法可得.

四边形PQMN为矩形，.

，

同理可得.

.

，.

四边形PQMN为正方形.

（3）拓展：猜想，理由如下：

由可设MN=3k，.

则，，.

，，

.

，

，

.

，

.

，

.

.