Question

【题目】某书店以元的价格购进一批科普书进行销售，物价局根据市场行情规定，销售单价不低于元且不高于元．在销售中发现，该科普书的每天销售数量（本）与销售单价（元）之间存在某种函数关系，对应如下：

销售单价（元）
销售数量（本）

（1）用你所学过的函数知识，求出与之间的函数关系式；

（2）请问该科普书每天利润（元）的最大值是多少？

（3）如果该科普书每天利润必须不少于元，试求出每天销售数量最少为多少本？

Answer 1

【答案】（1）；（2）该科普书每天利润（元）的最大值是元；（3）每天销售数量最少为20本．

【解析】

（1）先根据表格可知与之间的函数关系为一次函数，再利用待定系数法求解即可；

（2）先根据“利润（销售单价进价）销售数量”得出该科普书每天利润关于x的关系式，再利用二次函数的性质求出即可得；

（3）结合（2）的与x的关系式，先求出时，x的值，再根据二次函数的性质得出时，x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可得．

（1）由表格可知，与之间的函数关系为一次函数

则设与之间的函数关系式为

将点代入得：

解得

故与之间的函数关系式为；

（2）由题意得：

结合（1）的结论得：

整理得：

由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小

则当时，取得最大值，最大值为元

答：该科普书每天利润（元）的最大值是元；

（3）当时，，解得：或

由二次函数的图象性质得：当时，

又

当时，

对于一次函数，在范围内，y随x的增大而减小

则当时，取得最小值，最小值为（本）

答：每天销售数量最少为20本．