Question

【题目】已知:是的内接三角形,且,直径交于点.

如图1 ,求证：；

如图2,将线段绕点顺时针旋转得到线段,旋转角为连接分别交,于点,连接,求证: ；

如图3,在(2)的条件下,当时,交于点若求的长.

Answer 1

【答案】见解析；见解析；6

【解析】

（1）如图 1，连接OB，OC，首先证明AO是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形三线和一的性质即可证明；

（2）首先根据旋转的性质得到，又因为，从而得到，即可推出，再根据，即可推出结论；

（3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接先证明，再证明四边形是矩形，推出，，在中，

，求出，在中，求出，在中， ，最后证明是等边三角形，即可求出OA的长度.

（1）如图 1，连接OB，OC，

，

点在线段的垂直平分线上，

同理点在线段的垂直平分线上，

直线是线段的垂直平分线，

；

如图 2

∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴；

如图 3，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接

，

，

又，

∴，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

∴，

，

，

，

，

，

即，

，

∴，

在中，

∵，

，

，

∴，

在中，，

在中， ，

，

∴是等边三角形，

，

.