Question

17．在平面直角坐标系中，点A（-4，0），点B（2，0），若点C在一次函数y=-$\frac{1}{2}x+2$的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．

解答 解：由题意知，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：
当∠A=90°时，
过点A作垂线与直线的交点C₁（-4，4）；
当∠B=90°时，过点B作垂线与直线的交点C₂（2，1）；
当∠C=90°时，
过AB中点E（-1，0），作垂线与直线的交点为F（-1，2.5），则EF=2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，
设C₃（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
则AC²+BC²=AB²，即（x+4）2+2（-$\frac{1}{2}$x+2）2+（x-2）2=36，解得x=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
当x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10；
当x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10．
故C₃（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10），C₄（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10）．
综上所述，点C的坐标为：C₁（-4，4），C₂（2，1），C₃（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10），C₄（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10）．
故选C．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．