Question

16．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5²-3²，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数迸行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0=0²-0²，1=1²-0²，3=2²-1²，
4=2²-0²，5=3²-2²，7=4²-3²，
8=3²-1²，9=5²-4²，11=6²-5²，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）²-k²=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1．
所以，自然中所有奇数都是智慧数．
问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15．
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）²-k²用平方差公式展开即可得出结论；
（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．

解答 （1）解：继续小明的方法，12=4²-2²，13=7²-6²，15=8²-7²，
即第12个智慧数是15．
故答案为：15．
（2）证明：设k是自然数，由于（k+2）²-k²=（k+2+k）（k+2-k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）解：令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数．

点评 本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）²-k²用平方差公式展开；（3）令4k+2=26，求出k值．本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．