Question

10．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；
（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S_阴影=S_△COD-S_扇形OBC即可得到答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，
∴CD是圆O的切线；

（2）解：在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt_△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=$\frac{1}{3}$AD=4，DO=8，
∴CD=$\sqrt{D{O}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{CD•OC}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}×4}{2}$=8$\sqrt{3}$，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S_扇形OBC=$\frac{1}{6}$×π×OC²=$\frac{8}{3}π$，
∵S_阴影=S_△COD-S_扇形OBC
∴S_阴影=8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$，
∴阴影部分的面积为8$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

点评 本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OC⊥DE，解（2）的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．