Question

17．已知一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴，y轴分别交于M，N两点．
（1）求△OMN的面积；
（2）若OC⊥MN于点C，求OC的长；
（3）若点P是直线上一动点，且△OPM的面积为3，直接写出满足条件的所有点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4中的x、y为0，即可得出点M、N的坐标，即得出线段OM、ON的长度，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）在直角三角形中依据勾股定理即可得出线段MN的长度，再结合三角形的面积公式即可求出底边MN上的高OC的长度；
（3）依据点P在直线上，设出点P的坐标，结合三角形的面积公式即可得出点P的纵坐标，将其代入点P的坐标中，即可得出结论．

解答 解：（1）依据题意画出图形，如图1所示．

令一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4中x=0，则y=4；
令一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4中y=0，则-$\frac{4}{3}$x+4=0，解得x=3．
∴点M（3，0），点N（0，4），
∴OM=3，ON=4．
S_△OMN=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
（2）在Rt△OMN中，∠MON=90°，OM=3，ON=4，
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=5．
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$MN•OC=6，
∴OC=$\frac{12}{5}$．
（3）设点P的坐标为（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵△OPM的面积为3，且S_△OPM=$\frac{1}{2}$OM•|-$\frac{4}{3}$m+4|，
∴|-$\frac{4}{3}$m+4|=2，
解得：m=$\frac{3}{2}$，或m=$\frac{9}{2}$．
故点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，2）或（$\frac{9}{2}$，-2）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是：（1）求出点M、N的坐标；（2）求出线段MN的长度；（3）根据三角形的面积公式得出关于点P纵坐标的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出关于点的坐标的方程是关键．