Question

10．有一列数，第一个记作a₁，第二个记作a₂，…，第n个记作a_n，若a_n+1（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，当a₁=1时，求a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₁₅a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 已知等式整理得到关系式，把原式变形即可求出值．

解答 解：已知等式整理得：a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
当n=1时，a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{4}$，…，a_n=$\frac{1}{n}$，
则原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．