Question

【题目】小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧和矩形组成，的圆心是倒锁按钮点．其中的弓高．当锁柄绕着点旋转至位置时，门锁打开，此时直线与所在圆相切，且则的长度约为____________．(结果精确到，参考数据:)．

Answer 1

【答案】

【解析】

作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K，求出BM＝5，MK＝3，然后，求出DE＝NG＝8，TQ＝12，NT＝9，TP＝6，PQ＝，然后再根据平行线分线段成比例定理和同角三角函数求出SN，SM即可解决问题．

解：如图，作QT⊥PN于T，MW⊥NQ于W，连接BM，设HM交BC于K．

由等弧可知：的弓高为2cm，，

设BM＝rcm，在Rt△BMK中，则有r2＝42＋（r2）2，

解得r＝5，

∴BM＝5，MK＝3，

∵DN∥PQ，

∴∠DNE＝∠P，

∵NP＝NQ，

∴∠P＝∠NQP，

∴∠DNE＝∠NQP，

∴tan∠DNE＝tan∠NQP＝2＝，

∵NE＝DG＝4cm，

∴DE＝NG＝8cm，

设PT＝xcm，则tan∠P＝tan∠NQP＝2＝，

∴TQ＝2x，

在Rt△NTQ中，则有152＝（15x）2＋（2x）2，

解得x＝6，

∴TQ＝12cm，NT＝9cm，TP＝6cm，PQ＝cm，

∵直线PQ与所在的圆相切，作MF⊥PQ于F，则MF＝5，

延长PQ交NM的延长线于S，

∵TQ∥SN，

∴，即，

∴SN＝30cm，

∵sin∠S＝，

∴，

∴SM＝cm，

∴MN＝SNSM＝（30）cm，

∴AB＝GN＋MN＋MK＝8＋30＋3＝41≈29.8cm，

故答案为：29.8．