Question

14．如图，四边形ABCD是矩形，△ABD沿AD方向平移得△A₁B₁D₁，点A₁在AD边上，A₁B₁与BD交于点E，D₁B₁与CD交于点F．
（1）求证：四边形EB₁FD是平行四边形；
（2）若AB=3，BC=4，AA₁=1，求B₁F的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形EB₁FD是平行四边形，只要证明DE∥B₁F，B₁E∥DF即可．
（2）由△CB₁F∽△CBD，得$\frac{C{B}_{1}}{CB}$=$\frac{{B}_{1}F}{BD}$由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵△A₁B₁D₁是由△ABD平移所得，
∴AB∥A₁B₁，BD∥B₁D₁，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴A₁B₁∥CD，
∴四边形EB₁FD是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵AA₁=BB₁=1，
∴CB₁=3，
∵FB₁∥BD，
∴△CB₁F∽△CBD，
∴$\frac{C{B}_{1}}{CB}$=$\frac{{B}_{1}F}{BD}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{{B}_{1}F}{5}$，
∴B₁F=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、平移变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用了平移的性质以及相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．