Question

16．在平行四边形ABCD中，E为CD边的中点，且∠EAF=∠DAE，AF交射线BC于点F，若AF=13，CF=3，则BF的长度为7或19．

Answer 1

分析 延长AE交BC的延长线于G，分两种情况：①如图1所示：由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠G=∠DAE=∠EAF，∠D=∠GCE，得出GF=AF=13，求出GC=GF-CF=10，由AAS证明△ADE≌△GCE，得出AD=GC=10，BC=10，即可求出BF的长度；
②如图②所示：同①得：GF=AF=13，△ADE≌△GCE，求出GC=GF+CF=16，AD=GC=16，得出BC=16，即可求出BF的长度即可．

解答 解：延长AE交BC的延长线于G，分两种情况：
①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠G=∠DAE=∠EAF，∠D=∠GCE，
∴GF=AF=13，
∴GC=GF-CF=13-3=10，
∵E为CD边的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△GCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠G}&{\;}\\{∠D=∠GCE}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴AD=GC=10，
∴BC=10，
∴BF=BC-CF=7；
②如图②所示：
同①得：GF=AF=13，△ADE≌△GCE，
∴GC=GF+CF=16，AD=GC=16，
∴BC=16，
∴BF=BC+CF=19；
综上所述，BF的长度为7或19；
故答案为：7或19．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．