Question

如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．
（1）求证：MD和NE互相平分；
（2）若BD⊥AC，EM=2

2

，OD+CD=7，求△OCB的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）连接ED、MN，根据三角形中位线定理可得ED∥MN，ED=MN，进而得到四边形DEMN是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得MD和NE互相平分；
（2）利用（1）中所求得出OC=2DN=4

2

，再利用勾股定理以及三角形面积公式求出S_△OCB=

1

2

OB×CD即可．

解答：（1）证明：连接ED、MN，
∵CE、BD是△ABC的中线，
∴E、D是AB、AC中点，
∴ED∥BC，ED=

1

2

BC，
∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∴ED∥MN，ED=MN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴MD和NE互相平分；

（2）解：由（1）可得DN=EM=2

2

，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∵N是OC的中点，
∴OC=2DN=4

2

（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∵OD²+CD²=OC²=32，
（OD+CD）²=OD²+CD²+2OD×CD=7²=49，
2OD×CD=49-32=17，
OD×CD=8.5，
∵OB=2OM=2OD，
∴S_△OCB=

1

2

OB×CD=OD×CD=8.5．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理和三角形面积求法等知识，得出OD×CD的值是解题关键．