Question

已知直线L₁∥L₂，直线L₃与直线L₁、L₂交与C、D两点，点A、B分别是直线L₁和L₂上，且在直线L₃上同一侧，点P是L₁上一动点，不与两点C、D重合．
（1）如果点P在线段C、D两点之间运动时（图1），连接AP、BP，那么∠PAC、∠PBD、∠APB之间具有怎样的数量关系的关系？请说明理由．
（2）如果点P在C、D两点的外侧运动时（备用图），连接AP、BP，那么∠PAC、∠PBD、∠APB之间具有怎样的数量关系的关系？请说明理由．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过P点做PM∥L₁，根据两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）当点P在C点外侧运动时，过P点做PM∥L₁，根据两直线平行，内错角相等即可证得；当点P在D点外侧运动时，同（2）可证得．

解答：（1）解：如图1可知∠APB=∠PAC+∠PBD．
证明：过P点做PM∥L₁．
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂，
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠APM+∠MPB=∠PAC+∠PBD．
∵∠APM+∠MPB=∠APB，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）解：当点P在C点外侧运动时，（备用图1）
可得∠APB=∠PBD-∠PAC．
证明：过P点做PM∥L₁．
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂，
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠MPB-∠MPA=∠PBD-∠PAC，
∵∠MPB-∠MPA=∠APB，
∴∠APB=∠PBD-∠PAC；
当点P在D点外侧运动时，（备用图2）
可得∠APB=∠PAC-∠PBD．
证明：过P点做PM∥L₁，
∵L₁∥L₂，
∴PM∥L₁∥L₂
∴∠APM=∠PAC，∠MPB=∠PBD，
∴∠MPA-∠MPB=∠PAC-∠PBD，
∵∠MPA-∠MPB=∠APB，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

点评：本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线，以及注意（3）中分情况讨论是关键．