Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（3，0），（3，4）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP．已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为（

 

，

 

）；（用含x的代数式表示）
（2）△MPA面积的有最大值吗，若有请求此时x的值；
（3）探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？请写出你的研究成果．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据PG和OG的长度即可求得P的坐标；
（2）可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值．
（3）△MPA为等腰三角形，则PM=PA或PM=MA或PA=AM即可，分别求x的值，即可解题．

解答：解：（1）动点运动x秒后，则BN=x，
则PG=

4

3

x，CN=3-x，
∵∠ACB=∠PCN，∠ABC=∠PNC=90°，
∴△CPN∽△CAB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，又CN=3-x，AB=4，BC=3，
∴PN=

4

3

（3-x），
则PG=NG-NP=4-

4

3

（3-x）=

4

3

x，
∴P点的坐标为 （3-x，

4

3

x）；

（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=3-x，MA边上的高为

4

3

x，
其中，0≤x＜3，
∴S=

1

2

（3-x）×

4

3

x=

2

3

（-x²+3x）=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴S的最大值为

3

2

，此时x=

3

2

；

（3）要使得△MPA为等腰三角形，
①AP=PM，使得AG=MG即可，
MG=3-x-x=3-2x，AG=x，解得x=1，
②AM=AP，则AM=3-x，AP=

5

3

x，解得x=

9

8

，
③PM=AM，则AM=3-x，PM=

(3-2x)2+( 4 3 x)2

，解得x=

54

43

，
故x=1或

9

8

或

54

43

时，△MPA为等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了二次函数的应用、矩形的性质、图形面积的求法等知识点，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，本题中列出关于x的关系式并求解是解题的关键．