Question

同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，我们过点P作AB、CD的平行线PE，则有AB∥CD∥PE，故∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，故∠BPE=∠BPD+∠DPE，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？
（3）设BF交AC于点P，AE交DF于点Q．已知∠APB=130°，∠AQF=110°，利用（2）的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为

 

度，∠A比∠F大

 

度．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）依据两直线平行内错角相等，三角形外角的性质即可求得．
（2）依据两直线平行内错角相等，三角形外角的性质即可求得．
（3）依据（2）中的结论、三角形的内角和及三角形的外角和即可求得．

解答：（1）∠BPD=∠B-∠D不成立，是∠BPD=∠B+∠D，
证明：如图b，延长BP交DC于M，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BMD，
∵∠BPD=∠BMD+∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD；
∵A′B∥CD，
∴∠A′BQ=∠BQD，
证明同（1）．

（3）解∵∠AQF=110°，
∴∠EQF=∠B+∠E+∠F=180°-110°=70°，
∵∠1=∠APB-∠A=130°-∠A，∠2=180°-∠AQF-∠F=180°-110°-∠F=70°-∠F；
∵∠1=∠2，
∴130°-∠A=70°-∠F；
∴∠A-∠F=60°．

点评：本题考查了平行线性质，三角形外角性质，四边形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和猜想能力．