Question

16．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠AOC=120°，P是弧BD上的任意一点（不与点B，D重合），AP，CP分别交CD，AB于点E，F．若S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$，则⊙O的半径为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 连接BC，由∠AOC=120°知△BOC为等边三角形，进而得∠CBF=∠AOE=60°、BC=OA，证△BCF≌△OAE得S_△BCF=S_△OAE，根据S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$知等边三角形S_△BOC=2$\sqrt{3}$，结合等边三角形面积求法可得圆的半径．

解答 解：如图，连接BC，

∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠CBF=∠AOE=60°，BC=OC=OB=OA，
在△BCF和△OAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠AOE}&{\;}\\{BC=OA}&{\;}\\{∠BCF=∠OAE}&{（\widehat{BP}所对圆周角相等）}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△OAE（ASA），
∴S_△BCF=S_△OAE，
∵S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BCF+S_△COF=S_△BOC=2$\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}}{4}$OC²=2$\sqrt{3}$，
解得：OC=2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查等边三角形的判定与面积的求法、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，有一定的综合性，通过证明全等将两个无联系的三角形的面积连接到一起是解题的切入点和关键．