Question

5．如图．线段AB的端点坐标分别为A（-6，0），B（0，2）．点c从（0，4）出发以每秒2个单位的速度沿直线y=4向左平移，同时线段AB也沿x轴的正方向以每秒3个单位的速度平移．则经过$\frac{12}{5}$秒，△ABC的周长最小．

Answer 1

分析 因为AB在平移的过程中长度不变，所以△ABC的周长的变化由AC与BC决定，所以作点B′关于直线y=4的对称点B″，连接A′B″交直线y=4于点C′，即C点恰好运动到C′的位置，
此时，△ABC的周长最小

解答 解：如下图所示：当点AB运动到A′B′的位置时，作点B′关于直线y=4的对称点B″，连接A′B″交直线y=4于点C′，即C点恰好运动到C′的位置，
因为，由对称的性质可知：B′C′=B″C′，而A′B″=A′C′+C′B″，
由“两点之间，线段最短”可知△ABC的周长最小．

设此时运动的时间为t秒（t＞0），则点A′（3t-6，0），B′（3t，2），C′（-2t，4），
根据题意，在Rt△A′DB″中，A′B″²=A′D²+B″D²，
（3t-3t+6）²+6²=（-2t-3t+6）²+6²，
（5t-6）²=36，
解得符合题意的t=$\frac{12}{5}$．
即：经过$\frac{12}{5}$秒时，△ABC的周长最小．

点评 本题考查了轴对称--最短路线问题，解题的关键是分析清楚△ABC的周长的变化规律，难点在于寻找点C′的位置．