Question

13．∠AOB=80°，∠COD=40°，OF为∠AOD的角平分线．
（1）如图1，若∠COF=10°，则∠BOD=20°；若∠COF=m°，则∠BOD=2m°；猜想：∠BOD与∠COF的数量关系为∠BOD=2∠COF．
（2）当∠COD绕点O按逆时针旋转至图（2）的位置时，（1）的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在∠BOC中作射线OE，使∠BOE=20°，且∠EOF=3∠EOC，直接写出∠BOD=16°．

Answer 1

分析 （1）由已知求出∠DOF=30°，由角平分线得出∠AOF=∠DOF=30°，得出∠AOD=60°，求出∠BOD=∠AOB-∠AOD=20°；
若∠COF=m°，则∠DOF=40°-m°，由角平分线得出∠AOF=∠DOF=40°-m°，得出∠AOD=80°-2m°，得出∠BOD=∠AOB-∠AOD=2m°，即可得出结论；
（3）设∠EOC=x，则∠EOF=3x，得出∠DOF=∠COD+∠COF=40°+2x，由角平分线得出∠AOF=∠DOF=40°+2x，由∠AOB=80°得出方程，解方程求出x=4°，即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠COD=40°，∠COF=10°，
∴∠DOF=30°，
∵OF为∠AOD的角平分线．
∴∠AOF=∠DOF=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=20°；
∵∠COD=40°，∠COF=m°，
∴∠DOF=40°-m°，
∵OF为∠AOD的角平分线．
∴∠AOF=∠DOF=40°-m°，
∴∠AOD=80°-2m°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=2m°，
∴∠BOD=2∠COF；
故答案为：20°，2m°，∠BOD=2∠COF；
（3）设∠EOC=x，则∠EOF=3x，
∴∠DOF=∠COD+∠COF=40°+2x，
∵OF为∠AOD的角平分线．
∴∠AOF=∠DOF=40°+2x，
∵∠AOB=80°，
∴40°+2x+x+2x+20°=80°，
解得：x=4°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOE-∠EOC=40°-20°-4°=16°；
故答案为：16°．

点评 本题考查了旋转的性质、角平分线的定义以及角的计算；熟练掌握角平分线的定义和角之间的数量关系是解决问题的关键．