Question

10．若点O是边长为4的等边△ABC的外心，将一个边长足够大的正六边形的一个顶点固定在点O，使其绕点O旋转，在旋转的过程中，该正六边形与△ABC重叠部分的面积是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 连接OA、OC，根据等边三角形和正六边形性质证△AOE≌△COD，再由S_阴影=S_△COD+S_△COE=S_△AOE+S_△COE=S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC计算可得．

解答 解：连接OA、OC，

∵O为等边△ABC的外心，且该六边形为正六边形，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠COD=120°，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCD=30°，∠AOE=∠COD，
在△AOE和△COD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COD}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴S_阴影=S_△COD+S_△COE=S_△AOE+S_△COE=S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∵等边△ABC的边长为4，
∴S_阴影=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查等边三角形和正六边形的性质，通过证明△AOE≌△COD将阴影部分面积转化为求S_△AOC是解题的关键．