Question

6．平行四边形ABCD中，∠BCD=90°，AE平分∠BAD交BC于点E，交DC的延长线于点F，交BD于M，点G为EF的中点，连接CG、BG、DG．
（1）求证：△DCG≌△BEG；
（2）若AB=$\sqrt{2}$CG，DC=2，求MG；
（3）在（2）的条件下，延长BG交DF于N，求△NCG的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明△DCG≌△BEG，只要证明BE=CD，∠BEG=∠DCG=135°，EG=GC即可．
（2）欲求MG，因为MG=AF-AM-FG，所以想办法求出AM、FG、AF即可解决问题．
（3）作GK⊥CF于K，设△CGN内切圆半径为r，根据$\frac{1}{2}$•CN•GK=$\frac{1}{2}$（CG+CN+GN）•r，只要求出CN、GN、CG、GK即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AD
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=∠CEF=45°，
∵∠BCF=90°，
∴∠F=∠CEF=45°，
∴AB=BE=CD，CE=CF
∵EG=GF，∠ECF=90°，
∴EG=CG=FG，∠ECG=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠GCD=135°，
在△BEG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DC}\\{∠BEG=∠DCG}\\{EG=CG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BEG．
（2）如图1中，∵AB=$\sqrt{2}$CG，DC=2，
∴AB=CD=2，CG=EG=GF=$\sqrt{2}$，
∴EC=CF=2，
∴AB=CF=DC=2，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AB∥DF，
∴$\frac{AM}{MF}$=$\frac{AB}{DF}$，
∴AM=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴MG=AF=AM-FG=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
（3）如图2中，作GK⊥CF于K．
∵AB∥NF，
∴$\frac{NF}{AB}$=$\frac{GF}{AG}$=$\frac{GN}{BG}$=$\frac{1}{3}$，
∴NF=$\frac{2}{3}$，CN=CF-NF=$\frac{4}{3}$，
在RT△BCN中，NB=$\sqrt{B{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∴GN=$\frac{1}{4}$NB=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
在RT△CGK中，∵∠GCK=45°，CG=$\sqrt{2}$，
∴CK=GK=1，设△CGN内切圆半径为r，
则有：$\frac{1}{2}$•CN•GK=$\frac{1}{2}$（CG+CN+GN）•r，
∴r=$\frac{4}{3\sqrt{2}+\sqrt{10}+4}$．

点评 本题考查圆的综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住三角形内切圆半径的求法，属于中考常考题型．