Question

1．已知x≠1，计算（1+x）（1-x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）观察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．（n为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=-63．
②2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2（n为正整数）．
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a-b）（a+b）=a²-b²．
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³．
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．

Answer 1

分析 （1）根据题意易得（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）利用猜想的结论得到①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②先变形2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1），然后利用上述结论写出结果；
③先变形得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹），然后利用上述结论写出结果；
（3）根据规律易得①（a-b）（a+b）=a²-b²；②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（3）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴．
故答案为1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1；a²-b²，a³-b³，a⁴-b⁴．

点评 此题考查了整式的混合运算及数字变化类问题，根据题意熟练得到数字变化规律是解本题的关键．