Question

19．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为24+9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S_{四边形APBQ}=S_△BPQ+S_△APQ进行计算．

解答 解：连结PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAP=∠BAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC=QB=10，
在△BPQ中，∵PB²=8²=64，PQ²=6²，BQ²=10²，
而64+36=100，
∴PB²+PQ²=BQ²，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S_{四边形APBQ}=S_△BPQ+S_△APQ=$\frac{1}{2}$×6×8+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=24+9$\sqrt{3}$．
故答案为24+9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等边三角形的性质．