Question

13．提出问题
如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？
特例求解
当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．
深入探究
当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．

Answer 1

分析 特例求解：设AP=x，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出x的值，证明△APE≌△DCP即可；
深入探究：设AP=x，AE=y，证明△APE∽△DCP，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 解：特例求解，
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠APE=∠DCP，又∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，
设AP=x，则DP=3-x，又AE=BE=1，
∴x（3-x）=1×2，
整理得x²-3x+2=0，
解得，x₁=2，x₂=1，
∵AP＞AE，
∴AP=2，AE=PD=1，
∴△APE≌△DCP，
∴PE=PC；
深入探究
设AP=x，AE=y，
∵△APE∽△DCP，
∴$\frac{AP}{DC}$=$\frac{AE}{DP}$，即x（3-x）=2y，
∴y=$\frac{1}{2}$x（3-x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，y的最大值为$\frac{9}{8}$，
∵AE=y取最大值时，BE取最小值为2-$\frac{9}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴BE的取值范围为$\frac{7}{8}$≤BE＜2．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的解析式的确定以及二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．