Question

6．已知：如图，平行四边形ACBD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AB=BC=5．??
①求∠CAF的度数；?
②若BD=8，则△ABF的面积为12．??

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，再证出AB=DF，即可得出四边形ABDF是平行四边形；
（2）首先证明四边形ABCD是菱形，再用菱形的性质可得到AC⊥BD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠CAF=∠COD=90°；
（3）由勾股定理求出OA，得出AC，△ABF的面积=$\frac{1}{2}$菱形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵DF=CD，
∴AB∥DF．
∵DF=CD，
∴AB=DF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD=90°．
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF∥BD．
∴∠CAF=∠COD=90°；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AC=2OA=6，
∴△ABF的面积=$\frac{1}{2}$菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×6=12；
故答案为：12．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质．