Question

9．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．
（1）k的值是-2；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=$\frac{-4}{x}$图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S₁为四边形CEOB的面积，S₂为△OAB的面积，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{7}{9}$，则b的值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k、m、n、b的四元一次方程组，两式做差即可得出k值；
（2）根据BO⊥x轴，CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC，再根据给定图形的面积比即可得出$\frac{AO}{AE}=\frac{BO}{CE}=\frac{3}{4}$，根据一次函数的解析式可以用含b的代数式表示出来线段AO、BO，由此即可得出线段CE、AE的长度，利用OE=AE-AO求出OE的长度，再借助于反比例函数系数k的几何意义即可得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m-1，n+2），
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=km+b}\\{n+2=k（m-1）+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-2．
故答案为：-2．
（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BO∥CE，
∴△AOB∽△AEC．
又∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{7}{9}$，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AEC}}$=$\frac{9}{7+9}$=$\frac{9}{16}$．
令一次函数y=-2x+b中x=0，则y=b，
∴BO=b；
令一次函数y=-2x+b中y=0，则0=-2x+b，
解得：x=$\frac{b}{2}$，即AO=$\frac{b}{2}$．
∵△AOB∽△AEC，且$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△AEC}}$=$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{AO}{AE}=\frac{BO}{CE}=\frac{3}{4}$．
∴AE=$\frac{4}{3}$AO=$\frac{2}{3}$b，CE=$\frac{4}{3}$BO=$\frac{4}{3}$b，OE=AE-AO=$\frac{1}{6}$b．
∵OE•CE=|-4|=4，即$\frac{2}{9}$b²=4，
解得：b=3$\sqrt{2}$，或b=-3$\sqrt{2}$（舍去）．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键：（1）由P点坐标表示出Q点坐标；（2）找出关于b的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于相似三角形的性质找出各线段的长度，再根据反比例函数系数k的几何意义得出方程是关键．