Question

设n为自然数，方程x²+（n+1）x+n²=0的两根为α_n、β_n，求：

1

(α2+1)(β2+1)

+

1

(α3+1)(β3+1)

+…+

1

(α20+1)(β20+1)

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：先由根与系数的关系得出α_n+β_n=-（n+1），α_nβ_n=n²，那么

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

αnβn+(αn+βn)+1

=

1

n2-(n+1)+1

=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，再将

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

n-1

-

1

n

代入所求式子，化简即可求解．

解答：解：∵方程x²+（n+1）x+n²=0的两根为α_n、β_n，
∴α_n+β_n=-（n+1），α_nβ_n=n²，
∴

1

(αn+1)(βn+1)

=

1

αnβn+(αn+βn)+1

=

1

n2-(n+1)+1

=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴原式=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

19

-

1

20

）
=1-

1

20

=

19

20

．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．