Question

19．已知正方形ABCD，以AB为一边作△AEB，使∠AEB=45°，AE=3，BE=4，则EC=$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 如图作BM⊥AE于M，EN⊥CD于N，交AB于H．首先求出BM、AB、EH、BH，根据EC=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：如图作BM⊥AE于M，EN⊥CD于N，交AB于H．

在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠MEB=45°，EB=4，
∴EM=BM=2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{B{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（3-2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{25-12\sqrt{2}}$．
∵$\frac{1}{2}$•AB•EH=$\frac{1}{2}$•AE•BM，
∴EH=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}$，
∴BH²=NC²=EB²-EH²=16-$\frac{72}{25-12\sqrt{2}}$
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{25-12\sqrt{2}}+\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{25-12\sqrt{2}}}）^{2}+16-\frac{72}{25-12\sqrt{2}}}$=$\sqrt{41}$，
故答案为$\sqrt{41}$．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活于勾股定理，学会利用面积法求高，属于中考常考题型．