Question

18．如图，?ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，0），（5，0），∠DAB=60°，AD=2．
（1）求点D的坐标；
（2）若将?ABCD绕顶点A逆时针旋转60°，得到?AB₁C₁D₁，点D₁落在y轴上，AB₁经过点D，求点C₁的坐标及C₁C的长度．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥OB于M，求出∠ADM=30°，得出AM=$\frac{1}{2}$AD=1，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，求出OM=2，即可得出点D的坐标；
（2）作C₁G⊥x轴于G，连接C₁C，求出C₁G=3$\sqrt{3}$，得出点C₁的坐标为（2，3$\sqrt{3}$）；证出点D在C₁G上，且C₁D⊥CD，₁D=2$\sqrt{3}$，由勾股定理即可求出C₁C的长．

解答 解：（1）作DM⊥OB于M，如图1所示：
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，
∵OA=1，
∴OM=2，
∴点D的坐标为（2，$\sqrt{3}$）；
（2）作C₁G⊥x轴于G，连接C₁C，如图2所示：
∵AD=2，AB₁=4，
∴DB₁=2=AD=C₁B₁，
∴C₁D=2DG=2$\sqrt{3}$，
∴C₁G=3$\sqrt{3}$，
∴点C₁的坐标为（2，3$\sqrt{3}$）；
∵点D和点C₁的横坐标都是2，
∴点D在C₁G上，且C₁D⊥CD，C₁D=2$\sqrt{3}$，
∴C₁C=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解决问题的关键．