Question

13．有一天李明同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图一），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图二，三，四等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着李明同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）你能探究出图一到图四各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
（2）请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．

Answer 1

分析 （1）根据各角的不同位置，即可得到各角之间的数量关系；
（2）通过作辅助线，构造内错角，同位角以及同旁内角，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算即可．

解答 解：（1）∠B，∠D与∠BED之间的关系分别是：①∠B+∠D=∠BED；②∠B+∠D+∠BED=360°；③∠B=∠BED+∠D；④∠B=∠D+∠BED；

（2）选择①．
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；
选择②．
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，
∴∠D+∠BED+∠D=180°+180°=360°；
选择③．
延长AB交DE于F，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠BFE，
∵∠ABE是△BEF的外角，
∴∠ABE=∠E+∠BFE=∠E+∠D；
选择④．
设CD与BE交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CFE，
∵∠CFE是△DEF的外角，
∴∠CFE=∠D+∠E，即∠B=∠D+∠E．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，同位角以及同旁内角，依据两直线平行，内错角相等，同位角相等以及同旁内角互补进行计算．