Question

9．如图，抛物线C：y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，连接AB，且AB=5．
（1）求b的值及抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线C进行平移后得到抛物线C′，记点A对应点A′，点B对应点B′，若以A、B、A′、B′四点为顶点的四边形是正方形时，请写出由抛物线C平移到抛物线C′的平移方式，并求出抛物线C′的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出OB的长，从而确定点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线解析式，求出求b的值，再利用顶点坐标公式求出抛物线的顶点坐标；
（2）根据题意作出正方形，过点A₁作A₁D⊥y轴于点D，由△AA₁D≌△BAO求出DA和DA₁，求出A₁的坐标，进一步得平移的规律，最后求出平移后的抛物线C‘的解析式．

解答 解：（1）把x=0代入抛物线方程y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+3，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴OA=3
在R t△AOB中，∠AOB=90°，AB=5
OA²+OB²=AB²，
∴OB=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴点B的坐标为（4，0）
把点B代入抛物线方程，得0=-$\frac{1}{4}×{4}^{2}+4b+3$，
解，得b=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x+3=$-\frac{1}{4}（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{16}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}，\frac{49}{16}$），
（2）如图在正方形AA₁B₂B中，AA₁=AB=5，
过点A₁作A₁D⊥y轴于点D，
∵∠A₁AB=90°，
∴∠A₁AD+∠BAO=90°，
在Rt△AOB中，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠A₁AD=∠ABO，
∵∠A₁DA=∠AOB=90°，
∴△AA₁D≌△BAO（AAS），
∴AD=OB=4，A₁D=OA=3，
∴OD=OA+AD=3+4=7，
∴点A₁的坐标是（3，7），
∴点A到A₁是先向右移动3个单位，再向上移动4个单位得到的，
∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x+3=-$\frac{1}{4}（x-\frac{1}{2}）^{{2}^{\;}}+\frac{49}{16}$顶点是（$\frac{1}{2}$，$\frac{49}{16}$）
∴平移后的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$+3，$\frac{49}{16}$+4）=（$\frac{7}{2}，\frac{113}{16}$）
抛物线C移动到抛物线C‘得到y=-$\frac{1}{4}（x-\frac{7}{2}{）^{2}}^{\;}+\frac{113}{16}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{64}{16}$，
同理，当点抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位时的抛物线C’的解析式为：
y=$-\frac{1}{4}（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{15}{16}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{5}{4}x$-$\frac{25}{8}$
因此平移后的抛物线C’的表达式为：y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{64}{16}$或y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{5}{4}x$-$\frac{25}{8}$

点评 本题综全考查了用待定系数法求抛物线及直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质及平移的规律，此类题关键在于掌握每个知识的特征结合图象来求解．