Question

16．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1．小夏同学给出了如下四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③9a+3b+c＜0；④（a+c）²＞b²，并把它们分别写在四张相同卡片上，将卡洗匀后背面朝上，小东同学从中随机抽取一张，所抽卡片上的结论正确的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，于是可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）和（3，0）之间，则x=3时，y＜0，于是可对③进行判断；由于x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，（a-b+c）（a+b+c）＜0，则利用平方差公式展开后可对④进行判断，最后利用概率公式计算所抽卡片上的结论正确的概率．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以①错误；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）和（3，0）之间，
∴当x=3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，所以③正确；
∵x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a-b+c）（a+b+c）＜0，即[（a+c）-b][（a+c）+b]＜0，
∴（a+c）²-b²＜0，所以④错误．
∴小东同学从中随机抽取一张，所抽卡片上的结论正确的概率=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了概率公式．