Question

16．如图所示，四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，D在BC边上，连接CF．
（1）求证：BC⊥CF；
（2）若△ABC的面积为16，BD：DC=1：3，求正方形ADEF的面积；
（3）当（2）的条件下，连接AE交DC于G，求$\frac{DG}{GC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质及等腰直角三角形的性质证明△ABD≌△ACF即可；
（2）由三角形的面积可以求出AB、AC的值，由勾股定理就可以求出BC的值，就可以求出BD、CD的值，作DH⊥AB于点H，由勾股定理就可以求出BH=DH的值，进而得出AH的值，由勾股定理就可以求出AD²的值，即可得出结论；
（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则可以表示出MD，由勾股定理就可以得出FM的值，由△FCM∽△DEF就可以得出x的值，再由△AGD∽△EGM就可以得出GM的值，进而求出结论．

解答 解：（1）∵四边形ADEF为正方形，△ABC为等腰直角三角形，
∴AD=AF=EF=DE，AB=AC，∠DAF=∠BAC=∠DEF=∠ADE=90°，∠B=∠ACB=45°，AD∥EF．
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠FAC．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠DAB=∠FAC}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B=∠ACF，BD=CF，
∴∠ACF=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
即∠BCF=90°．
∴BC⊥CF；

（2）设AB=BC=x，由题意，得
$\frac{{x}^{2}}{2}$=16，
∴x=4$\sqrt{2}$．
∴BC=8．
∵BD：DC=1：3，
∴BD=8×$\frac{1}{4}$=2，CD=8-2=6．
作DH⊥AB于点H，
∴∠DHB=∠DHA=90°，
∴∠BDH=45°，
∴∠B=∠BDH，
∴BH=DH．
设BH=DH=a，由勾股定理，得
a=$\sqrt{2}$，
∴AH=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．
在Rt△ADH中，由勾股定理，得
AD²=20．
∴AD=2$\sqrt{5}$．
∵S正方形ADEF=AD²，
∴正方形ADEF的面积为20；

（3）设EF交BC于点M，设CM=x，则DM=6-x．
∵BD=CF，
∴CF=2．
在Rt△CMF中，由勾股定理，得
FM=$\sqrt{4+{x}^{2}}$．
∵∠DEF=∠FCM=90°，
∠DME=∠FMC，
∴△FCM∽△DEM，
∴$\frac{FM}{DM}=\frac{FC}{DE}$，
∴$\frac{F{M}^{2}}{D{M}^{2}}=\frac{F{C}^{2}}{D{E}^{2}}$，
∴$\frac{4+{x}^{2}}{（6-x）^{2}}=\frac{4}{20}$，
解得：x₁=1，x₂=-4（舍去）
∴CM=1，FM=$\sqrt{5}$，
∴ME=$\sqrt{5}$．DM=5
∵AD∥EF．
∴△AGD∽△EGM，
∴$\frac{DG}{GM}=\frac{AD}{EM}$，
∴$\frac{DG}{GM}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
∴DG=2GM，
设GM=b，DG=2b，
∴b+2b=5，
∴b=$\frac{5}{3}$，
∴GC=$\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$，
∴DG=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$．
∴$\frac{DG}{GC}=\frac{\frac{10}{3}}{\frac{8}{3}}$=$\frac{5}{4}$．
答：$\frac{DG}{GC}$的值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等及相似是关键．