Question

如图，D是Rt△ABC的斜边AB的中点，E是BC上的一点，且BE=

1

3

BC，∠B=30°，DE=1，则BC=

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：连结CD，取BC中点F，连结DF，根据三角形中位线定理得出DF∥AC且DF=

1

2

AC．设AC=k．解直角△ABC，得出AB=2AC=2k，BC=

3

AC=

3

k，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD=AD=k，然后在直角△DEF中，运用勾股定理得出DF²+EF²=DE²，由此列出方程（

1

2

k）²+（

3

6

k）²=1²，解方程求出k=

3

，进而得到BC=

3

k=3．

解答：解：如图，连结CD，取BC中点F，连结DF，则DF∥AC且DF=

1

2

AC．
设AC=k．
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2k，BC=

3

AC=

3

k．
∵D是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴CD=BD=AD=k．
∵在直角△DEF中，∠EFD=90°，
∴DF²+EF²=DE²，
∵DF=

1

2

AC=

1

2

k，EF=BF-BE=

1

2

BC-

1

3

BC=

1

6

BC=

3

6

k，DE=1，
∴（

1

2

k）²+（

3

6

k）²=1²，
∴k=

3

，
∴BC=

3

k=3．
故答案为3．

点评：此题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．