Question

如图，点O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连接起来，若四边形DEFG为正方形，则点O所在的位置满足的条件是

 

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Answer 1

考点：三角形中位线定理,正方形的判定

专题：

分析：先由DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF都平行且相等于

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BC，即DG与EF平行且相等，证得四边形DEFG是平行四边形，若四边形DEFG为正方形，则DG和DE互相垂直且相等；因此OA⊥BC且OA=BC，由此可判断出O点所处的位置．

解答：解：OA=BC且OA⊥BC．理由如下：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线；
∴DG∥BC，且DG=

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BC；
同理可证：EF∥BC，且EF=

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BC；
∴DG∥EF，且DG=EF；
∴四边形DEFG是平行四边形；
连接OA．
∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．
∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，
∵O点在BC边的高上，
∴AO⊥BC，
∴AO⊥EF，
∵DE∥OA，
∴DE⊥EF，
∴四边形DEFG是矩形．
∵OA=BC，DE=

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AO，DG=

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BC，
∴DE=DG，
∴矩形DEFG是正方形．
故答案为OA=BC且OA⊥BC．

点评：此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．