Question

16．探究：如图①，在△ABC外作△BAD，△CAE，使∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，以AD，AE为邻边向上作平行四边形ADFE，连接AF，求证：△ADF≌△BAC；
应用：如图②，在图①的基础上，取BD的中点P，连接PF，PC，PA，求∠FPC的度数，并说明理由．

Answer 1

分析 探究：由四边形AEFD是平行四边形，得到DF=AE，∠ADF+∠DAE=180°，等量代换得到DF=AC，∠ADF=∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
应用：由四边形AEFD是平行四边形，得到DF=AE=AC，DF∥AE，根据平行线的性质得到∠BAC=∠ADF，证得∠PDF=∠PAC，
根据全等三角形的性质得到PF=PC，∠DPF=∠APC，即可得到结论．

解答 证明：探究：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，∠ADF+∠DAE=180°，
∵AC=AE，
∴DF=AC，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠ADF=∠BAC，
在△ABC与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAC=∠ADF}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADF；

应用：∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=PB，
∴PA=PD=PB，∠ADB=∠ABD=∠PAD=45°，PA⊥BD，
∴∠DPA=90°
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=AC，DF∥AE，
∴∠DAE+∠ADF=180°
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠ADF，
∵∠PDF=∠ADB+∠ADF=45°+∠ADF，
∠PAC=∠PAB+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠PDF=∠PAC，
在△PDF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PA}\\{∠PDF=∠PAC}\\{DF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PAC，
∴PF=PC，∠DPF=∠APC，
∴∠DPA=∠FPC=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．