Question

5．如图，将边长为2的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动．
（1）该正六边形的每一个内角的度数是120°，每一个外角的度数为60°；
（2）求它的对角线A₁A₅、A₂A₄、A₁A₃的长；
（3）直接写出点A₁从图1滚动到图2的位置时，顶点A₁所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）利用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可解决问题．
（2）作A₂M⊥A₁A₃于M，由正六边形和等腰三角形的性质A₁M=A₃M，∠1=30°，A₂M=$\frac{1}{2}$A₁A₂=1，由勾股定理得出A₁M，即可得出结果；
（3）由（2）得出A₆C=$\frac{1}{2}$A₁A₆=1，A₁C=$\sqrt{3}$，A₁A₅=A₁A₃=2$\sqrt{3}$，当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，以2，2$\sqrt{3}$，4，2$\sqrt{3}$，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵正六边形的外角和为360度，
∴每个外角的度数为360°÷6=60°，
∵正六边形的每个外角与内角互补，
∴每个内角为180°-60°=120°．
故答案为：120°，60°；
（2）作A₂M⊥A₁A₃于M，如图1所示：
根据正六边形的性质得：对角线A₁A₅=A₂A₄=A₁A₃，A₁A₂=A₃A₂，∠A₁A₂A₃=120°，
∴A₁M=A₃M，∠1=30°，
∴A₂M=$\frac{1}{2}$A₁A₂=1，
由勾股定理得：A₁M=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₅=A₂A₄=A₁A₃=2$\sqrt{3}$；
（3）连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图2所示，
由（2）得：A₆C=$\frac{1}{2}$A₁ A₆=1，A₁C=$\sqrt{3}$，
∴A₁A₅=A₁A₃=2$\sqrt{3}$，
当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，
以2，2$\sqrt{3}$，4，2$\sqrt{3}$，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A₁所经过的路径的长=$\frac{60π×2}{180}$+$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×4}{180}$+$\frac{60π×2\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×2}{180}$
=$\frac{60π（2+2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}+2）}{180}$=$\frac{8+4\sqrt{3}}{3}$π，

点评 本题考查了多边形内角和与外角和定理、弧长公式、正六边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．