Question

12．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为53°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的仰角为63°，求此山的高度AB．（答案保留根号）
（参考数据：sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$，sin63°≈$\frac{12}{13}$，cos63°≈$\frac{5}{13}$，tan63°≈$\frac{12}{5}$）

Answer 1

分析 首先根据题意分析图形；作DN⊥AB于N，作DM⊥BC于M，构造两个直角三角形，分别求解可得DM与AN的值，再利用图形关系，进而可求出答案．

解答 解：如图，作DN⊥AB于N，作DM⊥BC于M．
∵在Rt△CDM中，∠DCM=30°，CD=400米，
∴DM=CD•sin30°=$\frac{1}{2}$×400=200（米），
CM=CD•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×400=200$\sqrt{3}$（米）．
∵在Rt△ADN中，∠ADN=63°，设DN=x米，
∴AN=tan63°•x=$\frac{12}{5}$x（米）．
在矩形DMBN中，BN=DM=200米．
∵在Rt△ACB中，∠ACB=53°，
∴tan53°=$\frac{AB}{BC}$，即：$\frac{4}{3}$=$\frac{\frac{12}{5}x+200}{x+200\sqrt{3}}$，
∴x=250$\sqrt{3}$-$\frac{375}{2}$，
∴AB=AN+BN=$\frac{12}{5}$（250$\sqrt{3}$-$\frac{375}{2}$）+200=600$\sqrt{3}$-250（米）．
答：此山的高度AB为（600$\sqrt{3}$-250）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般．