Question

17．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BD=6，AD=3$\sqrt{3}$，则∠AOD=120度．

Answer 1

分析 由矩形的性质可推出∠ABC=90°，由特殊角的锐角三角函数值可求出∠ACB=30°，根据矩形性质求出OB=OC，求出∠OBC和∠OCB的度数，求出∠BOC，即可求出∠AOD．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角），BD=AC，AD=BC，
∵在Rt△ABC中，BD=6，AD=3$\sqrt{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=OA=AC，AC=BD，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=120°，
∴∠AOD=∠BOC=120°，
故答案为：120．

点评 本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，矩形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．