Question

9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=$\frac{1}{4}$BC，则图中有3对相似三角形，△ADE与△AEF的周长比为2：$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC=$\frac{1}{4}$BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，
∵DE=CE，FC=$\frac{1}{4}$BC，
∴DE：CF=AD：EC=2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，
∴AE：EF=AD：DE，
即AD：AE=DE：EF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠D=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF，
设CF=x，则CE=DE=2x，
∴EF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴△ADE与△AEF的周长比=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=2：$\sqrt{5}$．
故答案为：3，2：$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．