题目内容
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如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=15cm，∠A=60°，动点P从点A开始沿AC点向C以2cm/s的速度移动（不与C重合），过点P作PD∥BC交AB于D，过P作PE∥AB交BC于E，若P点运动时间为t s．（1）设四边形ADEC的面积为ycm2，求y与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，DE的长取最小值？并求出这个最小值．
分析 （1）解直角三角形得到∠C=30°，AC=2AB=30，BC=15$\sqrt{3}$，由PD∥BC，得到∠APD=∠C=30°，求得AD=t，PD=$\sqrt{3}$t，于是得BE=PD=$\sqrt{3}$t，BD=15-t，于是求得结论；
（2）根据勾股定理得到DE=$\sqrt{4{t}^{2}-30t+225}$=$\sqrt{4（t-\frac{15}{2}）^{2}+\frac{675}{16}}$，于是求得当t=$\frac{15}{2}$s时，DE有最小值，DE的最小值=15$\sqrt{3}$．
解答 解：（1）∵∠B=90°，AB=15cm，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴AC=2AB=30，BC=15$\sqrt{3}$，
由题意得：AP=2t，
∵PD∥BC，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AD=t，PD=$\sqrt{3}$t，
∴BE=PD=$\sqrt{3}$t，BD=15-t，
∴y=S△ABC-S△BDE=$\frac{1}{2}$×15$\sqrt{3}$×15-$\frac{1}{2}$（15-t）$•\sqrt{3}$t，
即：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2-$\frac{15\sqrt{3}}{2}$t+$\frac{225\sqrt{3}}{2}$ （0＜t＜15）；
（2）∵BE2+BD2=DE2，
∴DE=$\sqrt{4{t}^{2}-30t+225}$=$\sqrt{4（t-\frac{15}{2}）^{2}+675}$，
∴当t=$\frac{15}{4}$s时，DE有最小值，DE的最小值=15$\sqrt{3}$cm．
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积．直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠1+∠2=180°．求证：HF⊥AB．
某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查，整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有1000名学生，估计喜欢“踢毽子”的学生有250人．
在数学活动中，小明为了求$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的值（结果用n表示），设计如图所示的几何图形，请你利用这个几何图形求$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$的值为1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
一抛物线形的石拱桥在如图所示的坐标系中，桥的最大高度为8m，跨度为40m．
如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=$\frac{1}{4}$BC，则图中有3对相似三角形，△ADE与△AEF的周长比为2：$\sqrt{5}$．
如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，