Question

18．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，EF⊥BC，∠B＞∠C，证明：∠FED=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）

Answer 1

分析 根据三角形的内角和等于180°和角平分线的定义表示出∠CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADB，然后根据直角三角形两锐角互余列式整理即可得证．

解答 证明：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
由三角形的外角性质得，∠ADB=∠CAD+∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）+∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B+∠C），
∵EF⊥BC，
∴∠FED=90°-∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠B+∠C）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
即：∠FED=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定理并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．