Question

4．已知正方形ABCD的边长为1，以AC为边作等边三角形ACE，过点E作AD边的垂线交AD的延长线于点F，则EF的长为（　　）

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由正方形和等边三角形的性质得出DE是AC的垂直平分线，求出∠EAD=15°，得出∠EDF=45°，证出∠DEF=45°=∠EDF，得出EF=DF．由勾股定理求出AC，设DF=EF=x，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解连接ED，且延长交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=45°，AB=CD=AD，AB=AD=1，∠ADC=90°，
∴D在AC垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=∠ACE=∠AEC=60°，EA=EC，
∴E在AC的垂直平分线上，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°，
∵∠EAC=60°，∠DAC=45°，
∴∠EAD=60°-45°=15°，
∴∠EDF=15°+30°=45°，
∵EF⊥AD，
∴∠EFA=90°，
∴∠DEF=45°=∠EDF，
∴EF=DF．
∵∠BAD=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，
即EA=AC=$\sqrt{2}$，
设DF=EF=x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EA²=EF²+DF²，
∴（$\sqrt{2}$）²=x²+（1+x）²，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$（负值舍去）
∴EF=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
故选：B．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质与判定，等边三角形性质，等腰三角形的判定，正方形性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．