题目内容
17．
如图，长方形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为（1，3）．长方形O'A'BC'是长方形OABC绕B点逆时针旋转得到的．O'点恰好在x轴的正半轴上，O'C'交AB于点D．（1）求证：O'A=O'A'，并求点O'的坐标．（提示：连接BO、BO'）
（2）求边C'O'所在直线的解析式．
（3）延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）连接OB，O′B，根据旋转的性质可得OB=O′B，再根据矩形的性质BA⊥OA，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AO=AO′，然后根据点B的坐标求出AO的长度，再得到AO′的长度，点O′的坐标即可得到；
（2）设点D的坐标是（1，a），表示出O′D的长度，然后利用勾股定理列式求出a的值，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法列式即可求出直线C′O′的解析式；
（3）根据AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角边，∠PMA=45°，②PO是另一直角边，∠POA=45°两种情况列式进行计算即可得解．
解答 解：
（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0）；
（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD2+AO′2=O′D2，
∴a2+12=（3-a）2，
解得a=$\frac{4}{3}$，
∴点D的坐标为（1，$\frac{4}{3}$），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴边C′O′所在直线的解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
（3）∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，
∴△AOM是等腰直角三角形，
①PM是另一直角边时，∠PMA=45°，
∴PA=AM=1，点P与点O′重合，
∴点P的坐标是（2，0），
②PO是另一直角边，∠POA=45°，则PO所在的直线为y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{8}{7}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为P（2，0）或（$\frac{8}{7}$，$\frac{8}{7}$）．
点评 本题是对四边形的综合考查，主要有矩形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理等，综合性较强，难度中等，需仔细分析细心计算．
已知一次函数y=kx+b的图象如图所示：
已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，∠1=∠2，∠M=∠N．求证：AD=AE．