Question

【题目】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E．已知A（1，4），＝．

（1）求m的值和一次函数的解析式；

（2）若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4，y＝﹣x+5；（2）（2，2）

【解析】

（1）先把A点坐标代入y＝中求出m得到反比例函数解析式为y＝；再证明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE＝4，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）利用点A与点B关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称可判断当OM的解析式为y＝x时，MN的长度最大，然后解方程组得此时M点的坐标．

（1）把A（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，

∴反比例函数解析式为y＝；

∵BD⊥y轴，AD⊥y轴，

∴AD∥BE，

∴△CDA∽△CEB，

∴＝，即＝，

∴BE＝4，

当x＝4时，y＝＝＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，解得，

∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；

（2）∵点A与点B关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，

∴当OM的解析式为y＝x时，MN的长度最大，

解方程组得或，

∴此时M点的坐标为（2，2）．