Question

14．如图，边长为1的菱形形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°，连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60°…，按此规律推测，所作的第2015个菱形的边长是$（\sqrt{3}）^{2014}$．

Answer 1

分析 连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第2015$\frac{1}{2}$个菱形的边长．

解答 解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AE=$\sqrt{3}$AC=$（\sqrt{3}）^{2}$，AG=$\sqrt{3}$AE=3$\sqrt{3}$=$（\sqrt{3}）^{3}$，
按此规律所作的第n个菱形的边长为$（\sqrt{3}）^{n-1}$，
则所作的第2015个菱形的边长是$（\sqrt{3}）^{2015-1}=（\sqrt{3}）^{2014}$．
故答案为：$（\sqrt{3}）^{2014}$．

点评 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解决本题的关键是发现规律．